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公务员考试行测:拉灯问题详解

2019-09-30 17:12:32 陕西公务员考试网 http://www.1505z.com/ 文章来源:陕西公务员考试网

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  一、初等拉灯问题---倍数、约数

  例1: 走廊里有10盏电灯,从1到10编号,开始时电灯全部关闭。有10个学生依次通过走廊,第1个学生把所有的灯绳都拉了一下,第2个学生把2的倍数号的灯绳都拉了一下,第3个学生把3的倍数号的灯绳都拉了一下……第10个学生把第10号灯的灯绳拉了一下。假定每拉动一次灯绳,该灯的亮与不亮就改变一次。试判定:当这10个学生通过走廊后,走廊里有多少盏灯是亮的?

  A.2

  B.3

  C.4

  D.5

  分析:

  (1)原来电灯全部关闭,拉一下,亮着;拉两下,灭了;拉三下,亮着。因此,灯绳被拉动奇数次的灯亮着。

  (2)可从最简单的情况考虑,把拉过某号的学生号码写出来寻找规律,如1号是第1个学生拉过,4是1,2,4号拉过,6是1,2,3,4号学生拉过,10是1,2,5,10号学生拉过,也就是第i号灯的灯绳被拉的次数就是i的所有约数的个数。由自然数因数分解的性质知,只有当i是平方数时,i的约数的个数才是奇数,所以只有1,4,9号灯亮着。

  本题答案:1,4,9号灯亮着,共有3盏灯。选B。

  总结:此类拉灯问题比较简单,假如把数字扩大看起来会很麻烦,但思路还是相同的,在做题是要擅长归纳总结,提炼出基本模型。下面看一下数字较大的情况:

  例2:一间实验室里有100盏灯,分别编号为1、2、3、……、100号,它们起初都是关着的。现在有学号为1、2、3、……、100号的学生分别走进这间实验室。1号学生把所有的灯的开关都拉了一次;2号学生把偶数号的灯的开关又都拉了一次;3号学生把倍数是3的号数的灯的开关都拉了一次;4号学生把倍数是4的号数的灯的开关都拉了一次;……当这100个学生全部走进了实验室之后,最后亮着的灯有多少盏?( )

  A.4

  B.6

  C.8

  D.10

  分析:

  (1) 原来电灯全部关闭,拉一下,亮着;拉两下,灭了;拉三下,亮着。因此,灯绳被拉动奇数次的灯亮着。

  (2) 思路同例1,所有的平方数的灯亮着。1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,10盏灯亮着。

  选D。

  例3:现在有1000盏灯,全亮,每个灯都由1个拉线开关控制。然后拉开关,规则:

  先拉一下1的倍数的开关。(也就是说每个灯都得拉一下),然后拉2的倍数的开关……

  ……最后拉1000的倍数的开关,问最后有几盏灯是亮的?( )

  A.21

  B.31

  C.969

  D.979

  分析:

  (1)原来电灯全亮着,拉一下,灭了;拉两下,亮着;拉三下,灭了。因此,灯绳被拉动奇数次的灯灭了。此题先求灭着的灯的数量,再求亮着的灯。

  (2)思路同例1,被拉过奇数次的是约数为奇数个的灯,也就是灯号为平方数的灯,

  1000以内:最小有1的平方,最大有31的平方。灭掉的灯有31盏,因此亮着灯有1000-31=969盏。

  (3)注意:看清本题要求,不能选31,正确答案选C。

  (二)拉灯难题—三集合容斥原理型

  例4: 有1000盏亮着的灯,各有一个拉线开关控制着。现按其顺序编号为1、2、3、4、5······1000,然后将编号为2的倍数的灯线拉一下,再将编号为3的倍数的灯线拉一下,最后将编号为5的倍数的灯线拉一下,三次拉完后,亮着的电灯有多少盏?( )

  A.468

  B.499

  C.501

  D.532

  分析:

  (1) 原来电灯亮着,拉一下,灭了;拉两下,亮着;拉三下,灭了。因此,灯绳被拉动奇数次的灯灭了。此题先求灭着的灯的数量,再求亮着的灯。

  (2) 注意:此题目拉灯的方法不同前三个例题。编号为2的倍数,3的倍数,5的倍数的灯一次都拉。可以据此,看做是三集和问题。

  (3) 三个圆圈分别代表:上圆---编号为2的倍数的灯,有500盏;左圆---编号为3的倍数的灯,有333盏灯,右圆---编号为5的倍数的灯,有200盏。其灯的亮或灭情况见图,

  (4) 数据计算:即能被2又能被3整除的有1000/6=166个;同理,能被2,5整除的有200个,能被3,5整除的有66个,能同时被2.3.5整除的有33个。请学员把每部分的数据填到上图中,图中四部分灭的灯有:上圆:500-166-100+33=267;左圆:333-166-66+33=134;右圆:200-100-66+33=67;中心灭:33,四部分灭着的灯共有:267+134+67+33=501,所有亮着灯有1000-501=499.选B。

  (5) 注意看清题目,501为易错选项。

  拉灯问题,题目本身看起来操作繁琐,但是其中蕴含的数学道理不难,我们希望学员们,熟练掌握此类型题目的解决思路,熟能生巧。

(编辑:weiying)

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