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      公務員考試行測:拉燈問題詳解

      2019-09-30 17:12:32 陜西公務員考試網 http://www.1505z.com/ 文章來源:陜西公務員考試網

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        一、初等拉燈問題---倍數、約數

        例1: 走廊里有10盞電燈,從1到10編號,開始時電燈全部關閉。有10個學生依次通過走廊,第1個學生把所有的燈繩都拉了一下,第2個學生把2的倍數號的燈繩都拉了一下,第3個學生把3的倍數號的燈繩都拉了一下……第10個學生把第10號燈的燈繩拉了一下。假定每拉動一次燈繩,該燈的亮與不亮就改變一次。試判定:當這10個學生通過走廊后,走廊里有多少盞燈是亮的?

        A.2

        B.3

        C.4

        D.5

        分析:

        (1)原來電燈全部關閉,拉一下,亮著;拉兩下,滅了;拉三下,亮著。因此,燈繩被拉動奇數次的燈亮著。

        (2)可從最簡單的情況考慮,把拉過某號的學生號碼寫出來尋找規律,如1號是第1個學生拉過,4是1,2,4號拉過,6是1,2,3,4號學生拉過,10是1,2,5,10號學生拉過,也就是第i號燈的燈繩被拉的次數就是i的所有約數的個數。由自然數因數分解的性質知,只有當i是平方數時,i的約數的個數才是奇數,所以只有1,4,9號燈亮著。

        本題答案:1,4,9號燈亮著,共有3盞燈。選B。

        總結:此類拉燈問題比較簡單,假如把數字擴大看起來會很麻煩,但思路還是相同的,在做題是要擅長歸納總結,提煉出基本模型。下面看一下數字較大的情況:

        例2:一間實驗室里有100盞燈,分別編號為1、2、3、……、100號,它們起初都是關著的。現在有學號為1、2、3、……、100號的學生分別走進這間實驗室。1號學生把所有的燈的開關都拉了一次;2號學生把偶數號的燈的開關又都拉了一次;3號學生把倍數是3的號數的燈的開關都拉了一次;4號學生把倍數是4的號數的燈的開關都拉了一次;……當這100個學生全部走進了實驗室之后,最后亮著的燈有多少盞?( )

        A.4

        B.6

        C.8

        D.10

        分析:

        (1) 原來電燈全部關閉,拉一下,亮著;拉兩下,滅了;拉三下,亮著。因此,燈繩被拉動奇數次的燈亮著。

        (2) 思路同例1,所有的平方數的燈亮著。1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,10盞燈亮著。

        選D。

        例3:現在有1000盞燈,全亮,每個燈都由1個拉線開關控制。然后拉開關,規則:

        先拉一下1的倍數的開關。(也就是說每個燈都得拉一下),然后拉2的倍數的開關……

        ……最后拉1000的倍數的開關,問最后有幾盞燈是亮的?( )

        A.21

        B.31

        C.969

        D.979

        分析:

        (1)原來電燈全亮著,拉一下,滅了;拉兩下,亮著;拉三下,滅了。因此,燈繩被拉動奇數次的燈滅了。此題先求滅著的燈的數量,再求亮著的燈。

        (2)思路同例1,被拉過奇數次的是約數為奇數個的燈,也就是燈號為平方數的燈,

        1000以內:最小有1的平方,最大有31的平方。滅掉的燈有31盞,因此亮著燈有1000-31=969盞。

        (3)注意:看清本題要求,不能選31,正確答案選C。

        (二)拉燈難題—三集合容斥原理型

        例4: 有1000盞亮著的燈,各有一個拉線開關控制著。現按其順序編號為1、2、3、4、5······1000,然后將編號為2的倍數的燈線拉一下,再將編號為3的倍數的燈線拉一下,最后將編號為5的倍數的燈線拉一下,三次拉完后,亮著的電燈有多少盞?( )

        A.468

        B.499

        C.501

        D.532

        分析:

        (1) 原來電燈亮著,拉一下,滅了;拉兩下,亮著;拉三下,滅了。因此,燈繩被拉動奇數次的燈滅了。此題先求滅著的燈的數量,再求亮著的燈。

        (2) 注意:此題目拉燈的方法不同前三個例題。編號為2的倍數,3的倍數,5的倍數的燈一次都拉。可以據此,看做是三集和問題。

        (3) 三個圓圈分別代表:上圓---編號為2的倍數的燈,有500盞;左圓---編號為3的倍數的燈,有333盞燈,右圓---編號為5的倍數的燈,有200盞。其燈的亮或滅情況見圖,

        (4) 數據計算:即能被2又能被3整除的有1000/6=166個;同理,能被2,5整除的有200個,能被3,5整除的有66個,能同時被2.3.5整除的有33個。請學員把每部分的數據填到上圖中,圖中四部分滅的燈有:上圓:500-166-100+33=267;左圓:333-166-66+33=134;右圓:200-100-66+33=67;中心滅:33,四部分滅著的燈共有:267+134+67+33=501,所有亮著燈有1000-501=499.選B。

        (5) 注意看清題目,501為易錯選項。

        拉燈問題,題目本身看起來操作繁瑣,但是其中蘊含的數學道理不難,我們希望學員們,熟練掌握此類型題目的解決思路,熟能生巧。

      (編輯:weiying)

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